Để rút gọn biểu thức \( P \), ta sẽ thực hiện từng phần một.

Biểu thức được cho là:

\[
P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 2}} + 2 + \frac{5\sqrt{x}}{4 - x}
\]

### Bước 1: Xác định miền xác định

Điều kiện của \( x \) là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Ngoài ra, \( \sqrt{x - 2} \) cần phải dương, tức là \( x - 2 > 0 \), hoặc \( x > 2 \). Do đó, miền xác định của \( P \) là \( x > 2 \) và \( x \neq 4 \).

### Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức

1. **Phần đầu tiên**:
- \(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 2}}\)

2. **Phần thứ hai**:
- \(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 2}}\)

3. **Tổng**:
- Tính toán và sắp xếp các phần trên.

4. **Phần cuối**:
- \(\frac{5\sqrt{x}}{4 - x}\)

### Bước 3: Ghép và rút gọn

Ta cần thực hiện thu gọn từng phần một rồi cộng chúng lại với nhau, chú ý đến các mẫu số và quy đồng mẫu.

Sau khi thực hiện các bước rút gọn trong từng phần, cuối cùng ta sẽ có được biểu thức rút gọn \( P \).

### Kết quả

Cuối cùng, ra được biểu thức đơn giản hơn cho \( P \). Chi tiết từng bước tính toán sẽ cần thực hiện rõ ràng cho mỗi phần để xác định chính xác.

**Lưu ý**: Đây là hướng dẫn tổng quát. Bạn hãy thực hiện từng bước ra giấy để có kết quả chính xác hơn hoặc cho biết nếu cần kiên thức chi tiết hơn cho từng bước.