Để giải hệ phương trình này, ta có:

\[
\frac{2x - 1}{6} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{3}
\]

Ta sẽ giải từng phương trình một. Đầu tiên, sẽ nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 6 để loại bỏ mẫu:

\[
2x - 1 - 9 = -4 \quad (\text{vì } \frac{3}{2} \times 6 = 9 \text{ và } -\frac{2}{3} \times 6 = -4)
\]

Kết quả rút gọn sẽ là:

\[
2x - 10 = -4
\]

Cộng thêm 10 cho cả hai vế:

\[
2x = 6
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
x = 3
\]

Bây giờ tiến hành kiểm tra xem nó có thoả mãn phương trình thứ hai hay không:

\[
2x - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{3}
\]

Thay \(x = 3\) vào phương trình:

\[
2(3) - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{3}
\]

Tính các giá trị:

\[
6 - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = 6 - \frac{1}{6} - \frac{9}{6} = 6 - \frac{10}{6} = 6 - \frac{5}{3}
\]

Để trừ 6 với \(\frac{5}{3}\), ta sẽ đổi 6 thành:

\[
6 = \frac{18}{3}
\]

Thay vào:

\[
\frac{18}{3} - \frac{5}{3} = \frac{13}{3}
\]

Và thấy rằng:

\[
\frac{13}{3} \neq -\frac{2}{3}
\]

Vậy \(x = 3\) không thoả mãn phương trình thứ hai.

Vì vậy, ta cần tìm câu trả lời cho phương trình thứ hai:

\[
2x - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{3}
\]

Nhân cả phương trình với 6:

\[
12x - 1 - 9 = -4
\]
\[
12x - 10 = -4 \Rightarrow 12x = 6 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \(x\) thoả mãn cả hai phương trình là:

\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]