Chứng minh ΔDAB = ΔDMB: Xét hai tam giác vuông ΔDAB và ΔDMB. Vì BD là đường phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc MBD. Cả hai tam giác đều có cạnh BD chung. Do đó, ΔDAB = ΔDMB (theo định lý cạnh huyền - góc nhọn).
Chứng minh AD < DC: Từ ΔDAB = ΔDMB, ta có AD = MD (hai cạnh tương ứng). Xét tam giác vuông ΔMDC, theo định lý Pythagoras, ta có DC > MD (vì DC là cạnh huyền). Do đó, DC > AD, hay AD < DC.
Chứng minh ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy: Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta cần tìm giao điểm của từng cặp đường thẳng và chứng minh rằng cả ba đường thẳng đều đi qua điểm đó.

AK và MD: Gọi giao điểm của AK và MD là F.
EI và MD: Ta cần chứng minh EI cũng đi qua điểm F.

ΔDAB = ΔDMB do có góc ABD = góc MBD và cạnh BD chung.
AD < DC vì AD = MD và DC > MD trong tam giác vuông ΔMDC.
AK, EI và MD đồng quy có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của đường trung tuyến và giao điểm của các đường thẳng trong tam giác.

Để chứng minh ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy, cần sử dụng các tính chất hình học và có thể cần thêm thông tin hoặc hình vẽ cụ thể để minh họa rõ ràng hơn. Tuy nhiên, dựa trên các bước phân tích trên, ta có thể thấy rằng việc chứng minh này liên quan đến việc sử dụng các định lý và tính chất của tam giác, đường phân giác và đường trung tuyến ¹.