Để rút gọn biểu thức đã cho, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định biểu thức ban đầu**:
\[
\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{2}{\sqrt{x-2}} \right) : \frac{x+4}{\sqrt{2+2}}
\]

2. **Tính giá trị của mẫu số**:
\[
\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2
\]
Do đó, biểu thức trở thành:
\[
\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{2}{\sqrt{x-2}} \right) : 2
\]

3. **Thay đổi phép chia thành phép nhân**:
\[
\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{2}{\sqrt{x-2}} \right)
\]

4. **Rút gọn từng phần của biểu thức**:
- Ta phải tìm một mẫu chung để cộng hai phân số trong dấu ngoặc:
\[
\text{Mẫu chung} = \sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x-2}
\]
Ta có:
\[
\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x-2}} + \frac{2 \cdot \sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-2} + 2 \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x-2}}
\]

5. **Tính giá trị cuối**:
Biểu thức cuối cùng sẽ là:
\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-2} + 2 \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x-2}}
\]
Có thể để nguyên dạng hoặc tối giản thêm tùy theo yêu cầu cụ thể hơn.

Đến đây, bạn đã có cách tiếp cận để rút gọn biểu thức. Nếu cần thiết, bạn có thể tính cụ thể cho từng giá trị của \(x\).