Để rút gọn tỉ số \( \frac{P}{Q} \), ta sẽ tìm biểu thức cho \( P \) và \( Q \) theo \( x \), sau đó thực hiện phép chia giữa chúng.

1. Xác định \( P \) và \( Q \):

\[
P = \frac{x + 3}{\sqrt{x - 2}},
\]

\[
Q = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 2}} \cdot \frac{5\sqrt{x - 2}}{4 - x}.
\]

2. Tính \( Q \):

\[
Q = \frac{5\sqrt{(x - 1)(x - 2)}}{(4 - x)\sqrt{x + 2}}.
\]

3. Tính \( \frac{P}{Q} \):

\[
\frac{P}{Q} = \frac{x + 3}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{(4 - x)\sqrt{x + 2}}{5\sqrt{(x - 1)(x - 2)}}.
\]

Sau khi thực hiện phép nhân:

\[
\frac{P}{Q} = \frac{(x + 3)(4 - x)\sqrt{x + 2}}{5\sqrt{(x - 1)(x - 2)}\sqrt{x - 2}}.
\]

4. Rút gọn:

\[
= \frac{(x + 3)(4 - x)\sqrt{x + 2}}{5\sqrt{(x - 1)(x - 2)^2}}.
\]

Tùy thuộc vào giá trị của \( x \) mà chúng ta có thể tiếp tục rút gọn hơn nếu có thể.

Đối với \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \), kết quả trên là dạng rút gọn cuối cùng của tỉ số \( \frac{P}{Q} \).