Để chứng minh các biểu thức trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một cách chi tiết.

### a) Biểu thức \( A = x^2 + x + 1 \)

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

1. Đạo hàm của \( A \):
\[
A' = 2x + 1
\]
Đặt \( A' = 0 \):
\[
2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}
\]

2. Tính giá trị của \( A \) tại \( x = -\frac{1}{2} \):
\[
A\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} > 0
\]

3. Giải thích: Hàm bậc 2 này có hệ số đầu là dương (1), và \( A(-\frac{1}{2}) > 0 \) cho nên \( A > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

### b) Biểu thức \( B = x^2 - xy + y^2 \)

Chúng ta cần chứng minh rằng \( B \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \) không đồng bằng 0.

1. Sử dụng định lý về tổng bình phương:
\[
B = x^2 - xy + y^2 = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2
\]
Hai hạng tử này đều lớn hơn hoặc bằng 0.

2. Kết luận: Do đó, \( B \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

### c) Biểu thức \( C = 4x - 10 - x^2 \)

Chúng ta cần chứng minh rằng \( C < 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

1. Viết lại \( C \):
\[
C = -x^2 + 4x - 10
\]
Hệ số của \( x^2 \) âm (nghĩa là đồ thị là một đường parabol dạng "mở xuống").

2. Tìm đỉnh của parabol:
Tọa độ \( x \) của đỉnh được tính bằng:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2
\]
Substituting \( x = 2 \) vào \( C \):
\[
C(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 10 = -4 + 8 - 10 = -6 < 0
\]

3. Kết luận: Bởi vì đường parabol mở xuống và giá trị lớn nhất (\(-6\)) ở đỉnh parabol vẫn âm, do đó \( C < 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

### Kết luận:
- \( A > 0 \) với mọi \( x \).
- \( B \geq 0 \) với mọi \( x, y \) không đồng bằng 0.
- \( C < 0 \) với mọi \( x \).