Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{3x + 6\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn từng phân thức**:

- Phân thức đầu tiên: \(\frac{3x + 6\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 2}\).

Biến đổi tử:
\[
3x + 6\sqrt{x} = 3\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)
\]
Biến đổi mẫu:
\[
x + \sqrt{x} - 2 = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) - 2
\]
Tuy nhiên, việc này không giúp chúng ta nhìn thấy rút gọn đơn giản. Chúng ta có thể giữ nguyên phân thức này.

2. **Rút gọn các phân thức còn lại**:

- Phân thức thứ hai: \(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}\)
- Phân thức thứ ba: \(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}\)

3. Tìm mẫu số chung để cộng/trừ phân thức: Mẫu số chung của hai phân thức này sẽ là \((\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)\).

4. **Gộp các phân thức sau khi đưa về mẫu số chung:**

Tổng phần phân thức thứ hai và thứ ba với mẫu chung là:
\[
\frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 2) - (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}
\]

Tính tử số:
\[
(\sqrt{x} + 2)^2 - (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (x + 4\sqrt{x} + 4) - (x - 1) = 4\sqrt{x} + 5
\]

5. **Kết hợp với phân thức đầu tiên**:

Xét tổng các phân thức:
\[
P = \frac{3x + 6\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{4\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}
\]
Để rút gọn triệt để, có thể cần kiểm tra các giá trị đặc biệt hoặc tìm cách biến đổi khác, nhưng biểu thức này không đơn giản rút gọn hơn nữa mà không tính toán cụ thể hơn.

Hy vọng điều này giúp bạn hiểu cách bắt đầu tiếp cận việc rút gọn biểu thức!