Để rút gọn biểu thức \( P \), ta cần phân tích các mẫu số để tìm cách kết hợp các phân thức lại với nhau.

Biểu thức cho \( P \) là:

\[ P = \frac{1}{x-2} - \frac{x^2+8}{x^3-8} + \frac{1}{x^2+2x+4}. \]

Bước 1: Phân tích mẫu số thứ hai \( x^3-8 \).

Nhận thấy rằng \( x^3-8 \) có thể được phân tích thông qua hằng đẳng thức:

\[ x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4). \]

Bước 2: Với phân tích trên, ta có thể viết lại biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{1}{x-2} - \frac{x^2 + 8}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{1}{x^2 + 2x + 4}. \]

Bước 3: Quy đồng và kết hợp các phân thức.

Ta thấy rằng các mẫu số của các phân thức chung đã gồm có \( x-2 \) và \( x^2 + 2x + 4 \).

Bây giờ kết hợp thành một mẫu số chung:

\[ P = \left( \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{x^2+8}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right). \]

\[ P = \frac{x^2 + 2x + 4 - (x^2 + 8) + (x - 2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}. \]

Bước 4: Tính toán tử số:

\[ x^2 + 2x + 4 - x^2 - 8 + x - 2 = 2x + x - 6 = 3x - 6. \]

Bước 5: Rút gọn phân thức:

\[ P = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}. \]

Chia cả tử số và mẫu số cho \( x-2 \), với điều kiện \( x \neq 2 \):

\[ P = \frac{3}{x^2+2x+4}. \]

Vậy biểu thức \( P \) rút gọn là:

\[ P = \frac{3}{x^2+2x+4}. \] với điều kiện \( x \neq 2 \).