Để tính giá trị của biểu thức \( A = (x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1) - x_1^2 x_2^2 \), với \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình \( 2x^2 - 7x + 6 = 0 \), ta có thể sử dụng định lý Viète:

1. Tổng hai nghiệm: \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{7}{2} \).
2. Tích hai nghiệm: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 3 \).

Khai triển biểu thức:

\[
(x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1) = x_1 x_2 + 2x_1^2 + 2x_2^2 + 4x_1 x_2
\]
\[
= 2(x_1^2 + x_2^2) + 5x_1 x_2
\]

Ta biết \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \).

Suy ra:

\[
x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 2 \times 3 = \frac{49}{4} - 6 = \frac{25}{4}
\]

Thay vào khai triển:

\[
2(x_1^2 + x_2^2) + 5x_1 x_2 = 2 \times \frac{25}{4} + 5 \times 3 = \frac{50}{4} + 15 = \frac{50}{4} + \frac{60}{4} = \frac{110}{4} = \frac{55}{2}
\]

Cuối cùng:

\[
A = \frac{55}{2} - (x_1 x_2)^2 = \frac{55}{2} - 9 = \frac{55 - 18}{2} = \frac{37}{2}
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( A \) là \(\frac{37}{2}\).