Để giải bài toán này, chúng ta có hai phần: khai triển Taylor cho hàm \( f(x) \) với các điều kiện cho trước, và khai triển Maclaurin cho hàm \( f(x) = \tan x \).

### Khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận \( x = 1 \):

Cho hàm \( f(x) \) là đa thức bậc 3, có \( f(2) = 0 \), \( f'(2) = -1 \), \( f''(2) = 4 \), \( f'''(2) = 12 \). Khi đó khai triển Taylor của \( f(x) \) quanh \( x = 1 \) là:

\[
f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3
\]

Tuy nhiên, ta cần chuyển từ \( x = 1 \) về \( x = 2 \) để sử dụng các giá trị đã cho:

\[
f(x) = f(2) + f'(2)(x-2) + \frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2 + \frac{f'''(2)}{3!}(x-2)^3
\]

Thay các giá trị đã cho:

\[
f(x) = 0 - 1(x-2) + \frac{4}{2}(x-2)^2 + \frac{12}{6}(x-2)^3
\]

Tính toán chi tiết:

\[
f(x) = -(x-2) + 2(x-2)^2 + 2(x-2)^3
\]

Để tìm \( f(1) \) và \( f'(1) \), ta tính trực tiếp:

- \( f(1): \)

\[
f(1) = -(1-2) + 2(1-2)^2 + 2(1-2)^3 = 1 + 2(1) - 2(1) = 1
\]

- \( f'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 2 + 2(x-2)^2 + 2(x-2)^3) \)

Sử dụng đạo hàm:

\[
f'(x) = -1 + \frac{d}{dx}[2(x-2)^2 + 2(x-2)^3]
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

\[
= -1 + 2 \cdot 2(x-2) + 3 \cdot 2(x-2)^2
\]

Tại \( x = 1 \):

\[
f'(1) = -1 + 4(-1) + 6(-1)^2 = -1 - 4 + 6 = 1
\]

### Khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho \( f(x) = \tan x \):

Khai triển Maclaurin cho hàm \( \tan x \) quanh \( x = 0 \):

Khai triển được xác định bởi công thức chuẩn:

\[
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)
\]

Do đó, khai triển bậc 3 của \( \tan x \) là:

\[
\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}
\]

Vậy là chúng ta đã tìm được cả khai triển Taylor cho hàm \( f(x) \) quanh \( x = 1 \) và khai triển Maclaurin cho hàm \( \tan x \).