Để giải bài toán này, ta cần chứng minh hai phần yêu cầu như sau:

1) Chứng minh tứ giác \(AMCH\) nội tiếp và \(OB^2 = OH \cdot OM\).

- Để tứ giác \(AMCH\) nội tiếp, một tiêu chí là các góc đối diện cộng lại bằng \(180^\circ\). Xét hai góc \(\angle AMH\) và \(\angle ACH\):
- Do \(AH \perp MO\), ta có \(\angle AMH = 90^\circ\).
- \(\angle ACH = 90^\circ\) vì \(C\) thuộc đường tròn.
- Do \(\angle AMH + \angle ACH = 180^\circ\), tứ giác \(AMCH\) là tứ giác nội tiếp.

- Để chứng minh \(OB^2 = OH \cdot OM\):
- Do \(AB\) là đường kính, \(OB = R\).
- Vì \(MC = 2R\) (do \(AM = 2R\)), và \(\angle AMC = 90^\circ\), tam giác \(AMC\) là vuông nên \(OM\) là trung điểm của \(AC\).
- Tam giác \(OMH\) vuông tại \(H\), với \(OH\) là đoạn thẳng nối từ \(O\) đến đường thẳng tiếp tuyến.
- Theo định lí Py-ta-go, có thể thấy \(OB^2 = OH \cdot OM\) vì OH đối diện góc vuông trong tam giác vuông \((OMH)\).

2) Chứng minh \(\triangle HCB \sim \triangle HOA\).

- Do \(\triangle HCB\) và \(\triangle HOA\) cùng có góc vuông, ta chỉ cần chứng minh các cặp góc còn lại bằng nhau.
- Ta có góc \(\angle HCB = \angle HOA\) vì cả hai đều trông lên cùng cung \(AB\) trong đường tròn.
- Từ đó suy ra \(\triangle HCB \sim \triangle HOA\) theo trường hợp góc - góc (AA) trong tam giác đồng dạng.

Bằng cách sử dụng các tính chất đường tròn và các định lý hình học cơ bản, ta đã chứng minh được hai mệnh đề trên.