To rút gọn biểu thức \( P = (x-4)\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} + \frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right) \) với điều kiện \( x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9 \), ta có thể thực hiện như sau:

### Phân tích từng phần tử trong biểu thức

1. **Xét biểu thức con thứ ba:**
\[
x-5\sqrt{x}+6 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)
\]
Suy ra:
\[
\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6} = \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}
\]

2. **Thay đổi các dấu trừ để chuẩn hóa biểu thức:**

- \(\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\)

### Tổng hợp lại biểu thức

\[
P = (x-4)\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} - \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\right)
\]

### Quy đồng và tính toán tổng:

1. Quy đồng:
\[
\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} = \frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}
\]

\[
\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} = \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}
\]

2. Thực hiện phép trừ:
\[
\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3) - (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2) + (\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}
\]

3. Kết quả chỉ còn \(\sqrt{x}+2\).

4. Nhân với \( x-4 \):
\[
P = (x-4)(\sqrt{x}+2)
\]

Vậy kết quả là \( \sqrt{x} + 2 \).