Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:

\[
P = \left( \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} \cdot \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} \right) : \left( \frac{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \right)
\]

1. **Tính tử và mẫu của biểu thức đầu tiên:**
- Tử: \((x\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} + 1) = (x^2x - 1)\)
- Đây là hiệu và tổng của cùng một biểu thức nên theo hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), ta có:
\[
= (x\sqrt{x})^2 - 1^2 = x^3 - 1
\]

2. **Mẫu:**
- Mẫu ban đầu là \((x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})\), ta lại áp dụng hằng đẳng thức:
\[
= x^2 - (\sqrt{x})^2 = x^2 - x
\]

3. **Tính biểu thức thứ hai:**
- Tử: \(2(x - 2\sqrt{x} + 1)\)
- Mẫu: \(x - 1\)

4. **Rút gọn:**

Biểu thức \(P\) trở thành:
\[
P = \frac{x^3 - 1}{x^2 - x} \cdot \frac{x - 1}{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}
\]

5. **Phân tích \(x^3 - 1\):**
- \(x^3 - 1\) có thể được viết lại thành:
\[
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
\]

Vậy, biểu thức trở thành:
\[
P = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x(x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}
\]

6. **Rút gọn:**
- Ta rút gọn \(x - 1\) từ tử và mẫu:
\[
P = \frac{x^2 + x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}
\]

7. **Kết quả cuối cùng:**
\[
= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
\]

Do đó, biểu thức đã được rút gọn thành \(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}\).