Để chứng minh bất phương trình \(24x - 2x^2 - 81 < 0\) với mọi \(x\), trước tiên chúng ta sẽ biến đổi và phân tích nó.

Ta có thể viết lại bất phương trình như sau:

\[
-2x^2 + 24x - 81 < 0
\]

Chia cả hai vế cho \(-1\) ta được:

\[
2x^2 - 24x + 81 > 0
\]

Để kiểm tra phương trình này có lớn hơn 0 với mọi giá trị của \(x\), chúng ta xét định thức (delta) của phương trình bậc hai:

Cho phương trình \(2x^2 - 24x + 81 = 0\), ta có:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 81
\]

\[
\Delta = 576 - 648 = -72
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực. Do đó, đồ thị của hàm số \(2x^2 - 24x + 81\) là một parabol hướng lên và không cắt trục hoành. Vậy:

\[
2x^2 - 24x + 81 > 0 \quad \text{với mọi } x
\]

Từ đó suy ra bất phương trình ban đầu:

\[
24x - 2x^2 - 81 < 0 \quad \text{với mọi } x
\]

Điều này đúng với mọi giá trị của \(x\).