Để phân tích đa thức −6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4−6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt t=(−x2−x+1)2t=(−x2−x+1)2. Khi đó, đa thức trở thành:
−6t2+x2t+5x4−6t2+x2t+5x4
Bước 2: Phân tích đa thức bậc hai theo t
Ta có một đa thức bậc hai theo tt. Ta có thể phân tích nó như sau:
−6t2+x2t+5x4=−(6t2−x2t−5x4)−6t2+x2t+5x4=−(6t2−x2t−5x4)
Tìm hai số có tích bằng 6⋅(−5x4)=−30x46⋅(−5x4)=−30x4 và tổng bằng −x2−x2. Hai số đó là −6x2−6x2 và 5x25x2.
6t2−x2t−5x4=6t2−6x2t+5x2t−5x4=6t(t−x2)+5x2(t−x2)=(6t+5x2)(t−x2)6t2−x2t−5x4=6t2−6x2t+5x2t−5x4=6t(t−x2)+5x2(t−x2)=(6t+5x2)(t−x2)
Vậy, −6t2+x2t+5x4=−(6t+5x2)(t−x2)−6t2+x2t+5x4=−(6t+5x2)(t−x2)
Bước 3: Thay t=(−x2−x+1)2t=(−x2−x+1)2 trở lại
−(6(−x2−x+1)2+5x2)((−x2−x+1)2−x2)−(6(−x2−x+1)2+5x2)((−x2−x+1)2−x2)
Bước 4: Phân tích tiếp (nếu có thể)
Xét biểu thức (−x2−x+1)2−x2(−x2−x+1)2−x2. Đây là hiệu của hai bình phương, nên ta có thể phân tích tiếp:
(−x2−x+1)2−x2=((−x2−x+1)−x)((−x2−x+1)+x)=(−x2−2x+1)(−x2+1)(−x2−x+1)2−x2=((−x2−x+1)−x)((−x2−x+1)+x)=(−x2−2x+1)(−x2+1)
Ta có thể viết lại −x2+1=1−x2=(1−x)(1+x)−x2+1=1−x2=(1−x)(1+x)
Vậy, (−x2−x+1)2−x2=(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)(−x2−x+1)2−x2=(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)
Thay vào biểu thức ban đầu:
−(6(−x2−x+1)2+5x2)(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)−(6(−x2−x+1)2+5x2)(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)
Bước 5: Kết luận
−6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4=−(6(−x2−x+1)2+5x2)(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)−6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4=−(6(−x2−x+1)2+5x2)(−x2−2x+1)(1−x)(1+x)
Ta có thể viết lại −x2−2x+1−x2−2x+1 như sau: −(x2+2x−1)−(x2+2x−1)
Vậy,
−6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4=(6(−x2−x+1)2+5x2)(x2+2x−1)(1−x)(1+x)−6(−x2−x+1)4+x2(−x2−x+1)2+5x4=(6(−x2−x+1)2+5x2)(x2+2x−1)(1−x)(1+x)