Để tìm giá trị của \( n \) sao cho tất cả các điều kiện trong bài toán đều được thỏa mãn, chúng ta cần lần lượt xét từng điều kiện và tìm giá trị \( n \) phù hợp.

1. \( 7 \) chia hết cho \( n - 2 \).

Điều này có nghĩa là \( n - 2 \) là ước của 7. Các ước của 7 là \(\pm 1\) và \(\pm 7\). Vậy:

- \( n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3 \)
- \( n - 2 = -1 \Rightarrow n = 1 \)
- \( n - 2 = 7 \Rightarrow n = 9 \)
- \( n - 2 = -7 \Rightarrow n = -5 \) (không thỏa mãn vì \( n \in \mathbb{N} \))

2. \( n + 2 \) chia hết cho \( n - 4 \).

Ta xét các trường hợp của \( n \) đã tìm được: 1, 3, 9.

- Với \( n = 1 \): \( n + 2 = 3 \), \( n - 4 = -3 \). Rõ ràng \( 3 \) không chia hết cho \(-3\).
- Với \( n = 3 \): \( n + 2 = 5 \), \( n - 4 = -1 \). \( 5 \) không chia hết cho \(-1\).
- Với \( n = 9 \): \( n + 2 = 11 \), \( n - 4 = 5 \). \( 11 \) không chia hết cho \( 5 \).

Ta thấy không có giá trị nào của \( n \) trong tập hợp \{1, 3, 9\} thỏa mãn điều kiện thứ hai.

Có thể cần xem xét lại hoặc kiểm tra các phép chia khác hoặc cần định nghĩa bài toán theo điều kiện khác để có được nghiệm. Nhưng trong bài toán này, việc xác định trường hợp hoặc ghi thiếu điều kiện có thể dẫn đến việc không tìm ra một \( n \) nhất định đáp ứng tất cả các điều kiện. Vậy với những điều kiện hiện tại không có giá trị nguyên dương nào của \( n \) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.