Để tính biểu thức này, ta tiến hành như sau:

Biểu thức cần tính là:

\[
\frac{\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \cdots + \sin^2 80^\circ}{\tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdots \tan 70^\circ \cdot \tan 80^\circ}
\]

**Tử số:**

Sử dụng đẳng thức: \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\).

Thế vào ta có:

\[
\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \cdots + \sin^2 80^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 40^\circ}{2} + \cdots + \frac{1 - \cos 160^\circ}{2}
\]

\[
= \frac{1}{2}(9 - (\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cdots + \cos 160^\circ))
\]

Ta có \(\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0\), \(\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0\), ... Nên:

\[
\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cdots + \cos 160^\circ = 0
\]

Do đó, giá trị của tử số là \(\frac{1}{2} \times 9 = \frac{9}{2}\).

**Mẫu số:**

Sử dụng tính chất: \(\tan x = \cot (90^\circ - x)\), ta được các cặp \(\tan 10^\circ \tan 80^\circ = 1\), \(\tan 20^\circ \tan 70^\circ = 1\), \(\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1\), và \(\tan 45^\circ = 1\).

Vậy, giá trị của mẫu số sẽ là \(1\).

**Kết quả:**

Giá trị của biểu thức là:

\[
\frac{9}{2}
\]