Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

a. Tính độ dài \( AB, AC, AH \).

Vì tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), có góc \( \widehat{C} = 30^\circ \), cạnh \( BC = 18 \text{ cm} \):

- Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[
\sin \widehat{C} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \sin 30^\circ = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý cos trong tam giác vuông:
\[
\cos \widehat{C} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC \cdot \cos 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ cm}
\]

- Độ dài đường cao \( AH \):
\[
AH = BC \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ cm}
\]

b. Chứng minh \(\cos \widehat{C} \cdot \sin \widehat{B} = \frac{HC}{BC}\).

Với \(\widehat{C} = 30^\circ\) và \(\widehat{B} = 60^\circ\):

\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó:

\[
\cos \widehat{C} \cdot \sin \widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}
\]

Trong tam giác vuông, phân giác \(HC\) có thể được xác định thông qua quan hệ các cạnh và tính bằng đường cao \(AH\) và tính chất vuông góc. Tuy nhiên, phần này cụ thể cần thêm dữ liệu để dễ dàng chứng minh.

c. Để chứng minh \( KE \parallel BC \), chúng ta xét tam giác vuông với tính chất của phân giác \(Bx\), \(By\) và tính chất của góc thẳng, sử dụng các ứng dụng của góc nội tiếp và các quan hệ song song hình không gian. phần này cần bổ sung thêm cách dựng và tính toán cụ thể để chứng minh song song.

Trên đây là phương pháp làm phần (a) và (b) cùng các bước hướng dẫn cho phần (c).