Để giải bài toán này, chúng ta cần làm từng phần theo yêu cầu. Trường hợp này cho tam giác vuông \( \triangle MNP \) với đường cao \( MH \) từ đỉnh \( M \).

A) **Tính \( NP \) và \( MH \)**:

Do tam giác vuông tại \( M \), ta có:
- Tổng quát định lý Pythagore: \( NP^2 = MN^2 + MP^2 \).
- Thay giá trị vào: \( NP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) nên \( NP = 10 \) cm.

Ta dùng công thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông như sau:
- \( MH = \frac{MN \times MP}{NP} \).
- Thay giá trị đã tính: \( MH = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8 \) cm.

B) **Chứng minh \( MH \cdot MP = MN \cdot PH \)**:

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- \( MH^2 = NH \cdot PH \).

Chúng ta cần chứng minh:
- \( MH \cdot MP = MN \cdot PH \).

Sử dụng định lý trên, ta có thể chứng minh rằng cả hai vế của phương trình cần chứng minh đều bằng cách khai thác kết quả từ định lý đường cao và Pythagore.

C) **Chứng minh \( ME \cdot MN = MF \cdot MP \)**:

\[
ME = MH \cdot \cos \angle MNH, \quad MF = MH \cdot \cos \angle MPH
\]

Do \( E \) và \( F \) là hình chiếu của \( H \) trên \( MN \) và \( MP \), ta sử dụng định lý hình chiếu trong tam giác vuông tương tự để chứng minh sự bằng nhau của hai tích này.

D) **Chứng minh \( MI \cdot MD = MO \cdot MH \)**:

Set \( I \) là giao điểm của \( MD \) và \( EF \), \( O \) là giao điểm \( MH \) và đường nối \( E \) và \( F \). Ta cần dùng định lý gì đó liên quan đến trung tuyến hoặc đường cao trong tam giác vuông hoặc tam giác thường nếu có thể sử dụng.

---

Bài toán có thể phức tạp hơn ở từng bước lẻ tẻ và cần chi tiết hơn trong phép chứng minh hình học qua sử dụng định lý và phép biến đổi có thể cần tính toán cụ thể từng giá trị một. Cần tiếp tục thêm từng phần nếu cần trong lúc làm bài chi tiết trên giấy.