Để giải các bài toán tìm số tự nhiên, ta xét từng trường hợp:

a/ \(5^{2x-1} - 11.5^7 = 5^{7.14}\)

Phương trình có dạng:

\(5^{2x - 1} - 11 \cdot 5^7 = 5^{7.14}\).

Nếu \(2x - 1 = 7.14\), thì phương trình sẽ không hợp lệ vì số mũ là số thập phân. Giải bằng cách thử giá trị \(x\), ta dễ thấy phương trình không tồn tại \(x\) thỏa mãn.

b/ \(5^{x-2} - 3^x = 2^4 - \left(\frac{6.6}{6^2}\right)\)

Tính vế phải:

\[
2^4 - \left(\frac{6 \times 6}{6^2}\right) = 16 - 1 = 15.
\]

Như vậy:

\[
5^{x-2} - 3^x = 15.
\]

Thử \(x = 3\):

\[
5^{3-2} - 3^3 = 5 - 27 = -22 \neq 15
\]

Thử \(x = 2\):

\[
5^{2-2} - 3^2 = 1 - 9 = -8 \neq 15
\]

Thử \(x = 4\):

\[
5^{4-2} - 3^4 = 25 - 81 = -56 \neq 15
\]

Không có giá trị \(x\) tự nhiên thỏa mãn. Xét các giá trị khác.

c/ \(15^{2x} \cdot 15^2 = 1\)

Phương trình này không có nghiệm vì tích hai số mũ của 15 không thể bằng 1 nếu \(x\) là số tự nhiên.

d/ \(3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} = 1080\)

Đặt \(3^x = a\), khi đó:

\[
a + 3a + 9a + 27a = 40a = 1080
\]

Giải:

\[
40a = 1080 \Rightarrow a = 27
\]

Vì \(a = 3^x\), ta có:

\[
3^x = 27 \Rightarrow 3^x = 3^3 \Rightarrow x = 3
\]

Vậy nghiệm của câu d là \(x = 3\).