To rút gọn và tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P \), ta thực hiện như sau:

### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \):

\[
P = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x+1} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right) - 1
\]

**Tìm điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x}\) có nghĩa khi \(x \geq 0\).
- \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\) có nghĩa khi \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\).
- \(\frac{1}{\sqrt{x} - 1}\) có nghĩa khi \(\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\).
- \(\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1}\) có nghĩa khi \(x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1 \neq 0\).

Xét \(x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1 = 0\):

- Đặt \( \sqrt{x} = t \Rightarrow x = t^2 \).
- Ta có phương trình: \( t^3 + t - t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t^3 - t^2 + t - 1 = 0 \).

Tìm nghiệm của phương trình này để tìm điều kiện cho \( x \).

**Rút gọn biểu thức \( P \):**

- Rút gọn cụm \( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \) bằng cách tìm mẫu chung và thực hiện các phép toán để đơn giản hóa. Có thể cần làm các bước phân tích nhân tử hoặc nhóm hạng tử để biểu thức dễ dàng hơn.

### b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P - \sqrt{x} \) nhận giá trị nguyên

1. Sau khi rút gọn \( P \), tính \( P - \sqrt{x} \).
2. Tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P - \sqrt{x} \) là số nguyên, cân nhắc cả điều kiện đã xác định trước đó.

Trên đây là các bước cơ bản cần thực hiện, bạn có thể thay thế vào và thực hiện các phép tính chi tiết.