Để giải quyết bài toán này, ta làm theo các bước sau:

**1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25:**

Biểu thức \( A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \).

Khi \( x = 25 \), ta có \( \sqrt{x} = 5 \). Thay vào biểu thức:

\[ A = \frac{2 \times 5}{5 - 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}. \]

Vậy giá trị của \( A \) khi \( x = 25 \) là \( \frac{5}{2} \).

**2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \):**

Đầu tiên ta viết lại biểu thức \( B \):

\[ B = \frac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 2\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}}. \]

Đặt \( u = \sqrt{x} \), khi đó \( x = u^2 \).

Thay vào biểu thức của \( B \):

\[ B = \frac{u^2 + u - 2}{u^2 - 2u + 1} + \frac{1}{1 - u}. \]

Làm rõ \( \frac{u^2 + u - 2}{u^2 - 2u + 1} \):

\[ u^2 + u - 2 = (u - 1)(u + 2), \]
\[ u^2 - 2u + 1 = (u - 1)^2. \]

Do đó:

\[ \frac{(u - 1)(u + 2)}{(u - 1)^2} = \frac{u + 2}{u - 1}. \]

Ta có:

\[ B = \frac{u + 2}{u - 1} + \frac{1}{1 - u}. \]

Biến đổi phân số thứ hai:

\[ \frac{1}{1 - u} = -\frac{1}{u - 1}. \]

Vậy:

\[ B = \frac{u + 2}{u - 1} - \frac{1}{u - 1} = \frac{u + 2 - 1}{u - 1} = \frac{u + 1}{u - 1}. \]

Chứng minh xong. Thay \( u = \sqrt{x} \), ta có:

\[ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}. \]

**3) Đặt \( P = \frac{A}{B} \). Tìm tất cả các giá trị của x để \( P = P^4 \):**

Ta có:

\[ P = \frac{\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}. \]

Điều kiện \( P = P^4 \):

\[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)^4. \]

Giả sử \( y = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \):

\[ y = y^4 \Rightarrow y^4 - y = 0 \Rightarrow y(y^3 - 1) = 0. \]

Vậy:

1. \( y = 0 \): Không thể xảy ra do trên mẫu khác 0.

2. \( y^3 - 1 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1. \)

Với \( y = 1 \):

\[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = 1 \Rightarrow 2\sqrt{x} = \sqrt{x} + 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1. \]

Do \( x \neq 1 \) (từ điều kiện đã cho), không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn \( P = P^4 \).