Để rút gọn các biểu thức trên, ta cần áp dụng một số hằng đẳng thức đáng nhớ và phép cộng trừ cơ bản.

a) \((x - 2y)^3 + (x + 2y)^3\)

Sử dụng hằng đẳng thức: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Ở đây, \(a = x - 2y\) và \(b = x + 2y\).

Tính toán:

1. \(a + b = (x - 2y) + (x + 2y) = 2x\).

2. \(a^2 = (x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2\).

3. \(b^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2\).

4. \(ab = (x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2\).

Vậy:
\[
(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3 = 2x((x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2)) = 2x(2x^2 + 8y^2)
= 4x^3 + 16xy^2
\]

b) \((3x + 2y)^3 + (3x - 2y)^3\)

Tương tự như trên, áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

Ở đây, \(a = 3x + 2y\) và \(b = 3x - 2y\).

Tính toán:

1. \(a + b = (3x + 2y) + (3x - 2y) = 6x\).

2. \(a^2 = (3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2\).

3. \(b^2 = (3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2\).

4. \(ab = (3x + 2y)(3x - 2y) = 9x^2 - 4y^2\).

Vậy:
\[
(3x + 2y)^3 + (3x - 2y)^3 = 6x((9x^2 + 4y^2) - (9x^2 - 4y^2) + (9x^2 + 4y^2)) = 6x(18x^2 + 8y^2)
= 108x^3 + 48xy^2
\]

c) \((x + 2)^3 - (x - 2)^3 - 12(x^2 + 1)\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\).

Ở đây, \(a = x + 2\) và \(b = x - 2\).

Tính toán:

1. \(a - b = (x + 2) - (x - 2) = 4\).

2. \(a^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\).

3. \(b^2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\).

4. \(ab = (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\).

Vậy:
\[
(x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 4((x^2 + 4) + (x^2 - 4) + 4)
= 4(2x^2 + 4).
\]

Rúi gọn tiếp:
\[
= 8x^2 + 16 - 12(x^2 + 1)
= 8x^2 + 16 - 12x^2 - 12
= -4x^2 + 4
\]

d) \((x - 1)^3 + (x + 1)^3 - 2x(x - 1)(x + 1)\)

Áp dụng:

\((a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Ở đây, \(a = x - 1\) và \(b = x + 1\).

1. \(a + b = (x - 1) + (x + 1) = 2x\).

2. \(a^2 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\).

3. \(b^2 = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\).

4. \(ab = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\).

Vậy:
\[
(x - 1)^3 + (x + 1)^3 = 2x((x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 1) + (x^2 + 2x + 1)) - 2x(x^2 - 1)
= 4x^3 - 2x
\]

Rút gọn lại:
\[
4x^3 - 2x
\]

Vậy biểu thức sau khi rút gọn là:

a) \(4x^3 + 16xy^2\)

b) \(108x^3 + 48xy^2\)

c) \(-4x^2 + 4\)

d) \(4x^3 - 2x\)