To solve the given expression \( P \) and the problem, let's go step by step:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu:
\[
P = \left(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x - 3}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x \sqrt{x}}{x + 5\sqrt{x} + 6}
\]

#### Rút gọn từng phần:

1. **Chia \(\sqrt{x} + 1\) cho \(\sqrt{x}\):**

\[
\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}
\]

2. **Chia \(2\) cho \(1 - \sqrt{x}\):**

Giữ nguyên

3. **Chia \(x - 3\) cho \(x - \sqrt{x}\):**

\[
\frac{x - 3}{x - \sqrt{x}} = 1 + \frac{-3 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}
\]

4. **Áp dụng tổ hợp các phần:**

\[
P = \left( \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{2}{1 - \sqrt{x}} + 1 + \frac{-3 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x \sqrt{x}}{x + 5\sqrt{x} + 6}
\]

------------

#### Giải phần với phân số:

Đặt tử số \(x \sqrt{x}\) vào:

\[
\frac{x \sqrt{x}}{x + 5\sqrt{x} + 6} = \frac{\sqrt{x}(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)}
\]

### b) Số giá trị nguyên của \( x \) để \( P \leq 20 \)

Rút gọn:

Biểu thức đơn giản hơn, tìm giá trị \( x \) để:
\[
P \leq 20
\]

Do đó, tìm giá trị của \( x \) thoả mãn \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \), tính giá trị phù hợp của \( P \).

Bước chi tiết ban đầu là xác định các yếu tố \( x \) để có nghiệp không vượt quá giá trị căn bậc hai và điều kiện dương được thỏa mãn.

Tính toán các giá trị thực tế với thử các số nhỏ, sẽ có vài phương pháp thử với \( x = 2, 3, \dots \), từ đó lập bảng và so sánh.

Để biết có bao nhiêu giá trị nguyên của \( x \), cần kiểm tra giá trị thõa mãn \( P \leq 20 \).

Kết quả cuối cùng sẽ đếm số giá trị \( x \) thõa mãn.