Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, chúng ta thực hiện như sau:

a) Chứng minh \(x^2 + 4x + 10 > 0\) với mọi \(x\).

Xét biểu thức \(x^2 + 4x + 10\). Ta có thể viết lại dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[
x^2 + 4x + 10 = (x+2)^2 + 6
\]

Ở đây, \((x+2)^2 \geq 0\) với mọi giá trị của \(x\), vì bình phương của một số luôn không âm. Vì vậy,

\[
(x+2)^2 + 6 \geq 6 > 0
\]

Vậy, \(x^2 + 4x + 10 > 0\) với mọi \(x\).

b) Chứng minh \(4y - y^2 - 7 < 0\) với mọi \(y\).

Xét biểu thức \(4y - y^2 - 7\). Để đưa biểu thức này về dạng hoàn chỉnh bình phương, ta viết lại:

\[
4y - y^2 - 7 = -(y^2 - 4y + 7)
\]

Tiếp theo, hoàn chỉnh bình phương bên trong dấu ngoặc:

\[
y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2
\]

Do đó:

\[
y^2 - 4y + 7 = (y-2)^2 + 3
\]

Suy ra:

\[
-(y^2 - 4y + 7) = -((y-2)^2 + 3) = -(y-2)^2 - 3
\]

Ở đây, \(-(y-2)^2 \leq 0\) và \(-(y-2)^2 - 3 < 0\).

Vậy, \(4y - y^2 - 7 < 0\) với mọi \(y\).