Để tìm số \( 3x4y5 \) chia hết cho 3 và 11, ta xét các điều kiện cần thiết:

1. **Chia hết cho 3**:
- Tổng các chữ số phải chia hết cho 3.
- Tổng là \( 3 + x + 4 + y + 5 = 12 + x + y \).
- \( 12 + x + y \equiv 0 \pmod{3} \)

2. **Chia hết cho 11**:
- Hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn phải chia hết cho 11.
- \( (5 + 4 + 3) - (y + x) = 12 - (x + y) \).
- \( 12 - (x + y) \equiv 0 \pmod{11} \).

**Giải hệ phương trình:**

- Từ điều kiện chia hết cho 3: \( 12 + x + y \equiv 0 \pmod{3} \) \\
\(\Rightarrow x + y \equiv 0 \pmod{3} \).

- Từ điều kiện chia hết cho 11: \( 12 - (x + y) \equiv 0 \pmod{11} \) \\
\(\Rightarrow x + y \equiv 1 \pmod{11} \).

**Kết hợp:**

Giải hệ:
\[
\begin{cases}
x + y \equiv 0 \pmod{3} \\
x + y \equiv 1 \pmod{11} \\
\end{cases}
\]

Ta cần tìm \( x + y \) thỏa mãn cả hai điều kiện này. Tìm nghiệm chung cho các phương trình:

Giá trị \( x + y = 11 \) là nghiệm nhỏ nhất thỏa mãn trong khoảng cho phép \((x, y \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\})\).

- Thử với \( x = 9, y = 2 \) (hoặc các kết hợp khác như: \( x = 8, y = 3 \)).

Vì vậy, nếu \( x = 9, y = 2 \), thì \( 3x4y5 = 39425 \).

\( 39425 \) thỏa mãn được yêu cầu của bài toán.