Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( S = \sqrt{a+3} + 2\sqrt{b+3} \) dưới điều kiện \( a + 2b \leq 3 \), ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM, nhưng cách tiếp cận trực tiếp sẽ dùng điều kiện bài toán và thử nghiệm trực tiếp.

1. Ta có điều kiện \( a + 2b \leq 3 \), nên xét lại điều kiện cho \( a \) và \( b \):
- \( a \geq 0 \)
- \( b \geq 0 \)

2. Để biểu thức \( S \) có giá trị lớn nhất, ta cần tối ưu hóa giá trị của cả hai căn thức. Thông thường, điều này xảy ra khi \( b \) nhận giá trị lớn nhất có thể dưới điều kiện cho trước.

3. Biến đổi điều kiện:
\[
a + 2b = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 3 - 2b
\]

4. Thế vào \( S \):
\[
S = \sqrt{3 - 2b + 3} + 2\sqrt{b+3} = \sqrt{6 - 2b} + 2\sqrt{b+3}
\]

5. Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta cần tính đạo hàm và tìm cực trị hoặc thử các giá trị của \( b \).

Gỉa sử \( b = 0 \), thì
\[
a = 3, \quad S = \sqrt{3 + 3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}
\]

Giả sử \( b = 1 \), thì
\[
a = 1, \quad S = \sqrt{1 + 3} + 2\sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} + 2\sqrt{4} = 2 + 4 = 6
\]

Giả sử \( b = \frac{3}{2} \), thì
\[
a = 0, \quad S = \sqrt{0 + 3} + 2\sqrt{\frac{6}{2}+3} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}
\]

So sánh các giá trị:
- Khi \( b = 1\), ta có \( S = 6 \).
- Khi \( b = 0\), ta có \( S = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \approx 5.468 \).
- Khi \( b = \frac{3}{2}\), ta có \( S = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \).

Do đó, giá trị lớn nhất của \( S \) là \( S = 6 \) tại \( a = 1 \) và \( b = 1 \).