Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm lần lượt theo từng yêu cầu:

a) **Xác định giá trị của \(a\) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.**

Để tìm tung độ gốc (là điểm giao với trục tung), ta thay \(x = 0\) vào phương trình:
\[ y = (a - 1) \cdot 0 + a = a \]

Để tung độ gốc bằng 2, ta có:
\[ a = 2 \]

b) **Xác định giá trị của \(a\) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3.**

Để tìm hoành độ gốc (là điểm giao với trục hoành), ta cho \(y = 0\):
\[ 0 = (a - 1)x + a \]

Với \(x = -3\):
\[ 0 = (a - 1)(-3) + a \]
\[ 0 = -3a + 3 + a \]
\[ 0 = -2a + 3 \]

Giải phương trình trên:
\[ 2a = 3 \]
\[ a = \frac{3}{2} \]

c) **Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị \(a\) tìm được ở câu a và b trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\). Từ đó tìm giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.**

Với \(a = 2\):
\[ y = (2 - 1)x + 2 = x + 2 \]

Với \(a = \frac{3}{2}\):
\[ y = \left(\frac{3}{2} - 1\right)x + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \]

Giao điểm của hai đường thẳng:
\[ x + 2 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \]

Giải phương trình:
\[ x - \frac{1}{2}x = \frac{3}{2} - 2 \]
\[ \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \]
\[ x = -1 \]

Thay \(x = -1\) vào phương trình \(y = x + 2\):
\[ y = -1 + 2 = 1 \]

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \((-1, 1)\).