Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hai biểu thức \( A \) và \( B \), ta cần phân tích từng biểu thức dựa vào \( x \geq 0 \).

### Biểu thức \( A \):

\[ A = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \]

Ta phân tích:

\[ A = \frac{x}{\sqrt{x}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Đặt \( t = \sqrt{x} \), với \( t \geq 0 \), ta có:

\[ A = t + 1 + \frac{1}{t} \]

Tìm GTNN của \( f(t) = t + \frac{1}{t} \) khi \( t > 0 \).

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[ t + \frac{1}{t} \geq 2 \]

Dấu "=" xảy ra khi \( t = 1 \), suy ra GTNN của \( A \) là \( 3 \) khi \( t = 1 \) hay \( x = 1 \).

### Biểu thức \( B \):

\[ B = \frac{x + 8}{\sqrt{x} + 1} \]

Đặt \( t = \sqrt{x} \), \( B \) trở thành:

\[ B = \frac{t^2 + 8}{t + 1} \]

Đạo hàm và giải tìm cực trị:

\[ g(t) = \frac{t^2 + 8}{t + 1} \]

Giải bất phương trình và tìm giá trị:

1. Derivative \( g'(t) = \frac{(t + 1)(2t) - (t^2 + 8)}{(t+1)^2} = \frac{t^2 + 2t + 8 - t^2}{(t+1)^2} \)

2. Giải \( \frac{2t - t^2 + 8}{(t+1)^2} = 0 \)

Dùng bất đẳng thức hoặc tìm điểm thử gần. Khi tính kỹ hơn, ta thấy rằng khi \( t \rightarrow 0 \), giá trị này sẽ có khuynh hướng đạt mức nhỏ nhất thực tế kiểm nghiệm hoặc các thử nghiệm với số liệu cụ thể hơn.

### Kết luận:

- GTNN của \( A \) là 3 khi \( x = 1 \).
- GTNN của \( B \) cần kiểm tra cụ thể nhưng không nhất thiết có dạng quy tắc chuẩn tương tự.