Để giải bài toán này, ta xét biểu thức:

\[ B = \frac{2\sqrt{x} + 11}{\sqrt{x} + 2} \]

### Tìm giá trị lớn nhất của B

Đặt \( t = \sqrt{x} \), khi đó biểu thức trở thành:

\[ B = \frac{2t + 11}{t + 2} \]

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( B \) theo \( t \).

Tính đạo hàm của \( B \):

\[ f(t) = \frac{2t + 11}{t + 2} \]

\[ f'(t) = \frac{(2)(t+2) - (2t+11)}{(t+2)^2} = \frac{4 - 11}{(t+2)^2} = \frac{-7}{(t+2)^2} \]

Vì \( f'(t) < 0 \) với mọi \( t \), nên hàm số là đơn điệu giảm trên khoảng xác định. Do đó, giá trị lớn nhất của \( B \) là giá trị tại \( t = 0 \):

\[ B_{max} = \frac{2(0) + 11}{0 + 2} = \frac{11}{2} \]

### Tìm giá trị của \( x \) để \( B \) nhận giá trị nguyên

Biểu thức \( \frac{2t + 11}{t + 2} = k \) (k là số nguyên), ta có:

\[ 2t + 11 = k(t + 2) \]

\[ 2t + 11 = kt + 2k \]

\[ (2-k)t = 2k - 11 \]

\[ t = \frac{2k - 11}{2-k} \]

Để \( t \) là số thực không âm, \( 2-k \neq 0 \), ta phải xét \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), tức là:

1. \( 2-k > 0 \) nếu \( k < 2 \);
2. \( 2-k < 0 \) nếu \( k > 2 \).

Kiểm tra các giá trị \( k \):

- Nếu \( k = 1 \): \( t = \frac{2(1)-11}{2-1} = -9 \) (loại).
- Nếu \( k = 2 \): Không hợp lệ vì mẫu số bằng 0.
- Nếu \( k = 3 \): \( t = \frac{2(3)-11}{2-3} = 5 \). Khi đó \( x = t^2 = 25 \).

**Kết luận:** Giá trị lớn nhất của \( B \) là \(\frac{11}{2}\). Biểu thức \( B \) nhận giá trị nguyên khi \( x = 25 \).