Để rút gọn các biểu thức trong bài tập trên, ta xử lý từng phần một:

a) \(4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5}\)

Cộng và trừ các hệ số của \(\sqrt{5}\):

\(4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = (4 + 3 - 1)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)

b) \(\sqrt{80} + \sqrt{45} - \sqrt{5}\)

Rút gọn các căn trước:

\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\)

\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\)

Thay vào biểu thức:

\(4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)

c) \(\frac{2}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{8}\)

Rationalize mẫu số của phân số đầu tiên:

\(\frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{1} = 2\sqrt{2} + 2\)

Rút gọn \(\sqrt{8}\): \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Nên ta có:

\(2\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 2\)

d) \(\frac{1}{\sqrt{3} - 2} + \frac{\sqrt{300}}{10} - \sqrt{12}\)

Rút gọn từng phần:

\(\frac{1}{\sqrt{3} - 2}\) rationalizing:

\(\frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{1} = \sqrt{3} + 2\)

\(\frac{\sqrt{300}}{10} = \frac{\sqrt{100 \times 3}}{10} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}\)

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)

Tổng hợp lại:

\(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0\)

e) \(\frac{4}{\sqrt{5} - a} - \frac{4}{\sqrt{5} + a}\)

Rationalizing từng phần và sử dụng công thức hiệu các phân số:

Rationalize:

Với tử số giống nhau và mẫu số là hiệu của bình phương, biểu thức này có dạng:

\(\frac{4(\sqrt{5} + a) - 4(\sqrt{5} - a)}{(\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)}\)

Rút gọn tử số:

\[4\sqrt{5} + 4a - 4\sqrt{5} + 4a = 8a\]

Mẫu số rút gọn:

\[(\sqrt{5})^2 - a^2 = 5 - a^2\]

Nên biểu thức là:

\(\frac{8a}{5 - a^2}\)