Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giới hạn của dãy số \( a_n = \frac{\sqrt{1 + 5 + 9 + \ldots + (4n-3)}}{2n-1} \) khi \( n \to \infty \).

Trước tiên, hãy tính tổng của dãy số trong căn:

Dãy số này là một cấp số cộng với số hạng đầu là 1 và công sai là 4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là \( 4k - 3 \) với \( k = 1, 2, \ldots, n \).

Do đó, tổng của dãy số là:
\[
S_n = 1 + 5 + 9 + \ldots + (4n-3).
\]

Sử dụng công thức tổng của cấp số cộng \( S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \), trong đó \( a_1 = 1 \) và \( a_n = 4n - 3 \), ta có:
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (1 + (4n - 3)) = \frac{n}{2} \times (4n - 2) = n(2n - 1).
\]

Điều này cho ta:
\[
S_n = n(2n - 1).
\]

Vậy biểu thức cần tính giới hạn là:
\[
a_n = \frac{\sqrt{n(2n - 1)}}{2n-1}.
\]

Ta có thể đơn giản hóa biểu thức trên:
\[
a_n = \frac{\sqrt{n(2n - 1)}}{2n-1} = \frac{\sqrt{2n^2 - n}}{2n-1}.
\]

Giờ ta chia cả tử và mẫu cho \( n \):
\[
a_n = \frac{\sqrt{n^2(2 - \frac{1}{n})}}{n(2 - \frac{1}{n})} = \frac{n\sqrt{2 - \frac{1}{n}}}{n(2 - \frac{1}{n})}.
\]

Triệt tiêu \( n \) ở tử và mẫu, ta được:
\[
a_n = \frac{\sqrt{2 - \frac{1}{n}}}{2 - \frac{1}{n}}.
\]

Khi \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \), vì thế:
\[
a_n \to \frac{\sqrt{2 - 0}}{2 - 0} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Do đó, giới hạn cần tìm là:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]