) 25x2+10x+1=025x^2 + 10x + 1 = 025x2+10x+1=0

Đây là phương trình bậc hai:

25x2+10x+1=025x^2 + 10x + 1 = 025x2+10x+1=0

Sử dụng công thức nghiệm:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

Với a=25,b=10,c=1a = 25, b = 10, c = 1a=25,b=10,c=1:

Δ=102−4⋅25⋅1=100−100=0\Delta = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0Δ=102−4⋅25⋅1=100−100=0

=> Phương trình có nghiệm kép:

x=−102⋅25=−1050=−15x = \frac{-10}{2 \cdot 25} = \frac{-10}{50} = \frac{-1}{5}x=2⋅25−10​=50−10​=5−1​

✅ Nghiệm: x=−15x = \frac{-1}{5}x=5−1​

b) x2−20x=−100x^2 - 20x = -100x2−20x=−100

Chuyển vế:

x2−20x+100=0x^2 - 20x + 100 = 0x2−20x+100=0

Ta thấy đây là hằng đẳng thức:

x2−20x+100=(x−10)2x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2x2−20x+100=(x−10)2 (x−10)2=0⇒x=10(x - 10)^2 = 0 \Rightarrow x = 10(x−10)2=0⇒x=10

✅ Nghiệm: x=10x = 10x=10

c) 8x3−12x2+6x−1=08x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = 08x3−12x2+6x−1=0

Ta nhóm hạng tử:

(8x3−12x2)+(6x−1)=4x2(2x−3)+1(6x−1)(8x^3 - 12x^2) + (6x - 1) = 4x^2(2x - 3) + 1(6x - 1)(8x3−12x2)+(6x−1)=4x2(2x−3)+1(6x−1)

Không nhóm được thuận tiện, thử dùng phân tích đa thức hoặc nhận biết hằng đẳng thức.

Thử nghiệm xem có nghiệm nào đơn giản không. Dùng phương pháp Horner hoặc thử nghiệm các giá trị.

Thử x=12x = \frac{1}{2}x=21​:

8(12)3−12(12)2+6(12)−1=1−3+3−1=08\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 08(21​)3−12(21​)2+6(21​)−1=1−3+3−1=0

✅ x=12x = \frac{1}{2}x=21​ là nghiệm.

Dùng chia đa thức để rút gọn:

Chia 8x3−12x2+6x−18x^3 - 12x^2 + 6x - 18x3−12x2+6x−1 cho x−12x - \frac{1}{2}x−21​

=> Thực hiện chia (hoặc dùng Horner) ta được:

8x3−12x2+6x−1=(x−12)(8x2−8x+2)8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (x - \frac{1}{2})(8x^2 - 8x + 2)8x3−12x2+6x−1=(x−21​)(8x2−8x+2)

Giải tiếp:

8x2−8x+2=0⇒x=8±(−8)2−4⋅8⋅22⋅8=8±64−6416=816=128x^2 - 8x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2}}{2 \cdot 8} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}8x2−8x+2=0⇒x=2⋅88±(−8)2−4⋅8⋅2​​=168±64−64​​=168​=21​

=> Nghiệm kép x=12x = \frac{1}{2}x=21​

✅ Nghiệm: x=12x = \frac{1}{2}x=21​ (bội ba)

d) (3x−1)3+(3x+1)3=0(3x - 1)^3 + (3x + 1)^3 = 0(3x−1)3+(3x+1)3=0

Dùng hằng đẳng thức:

a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)

Gọi a=3x−1a = 3x - 1a=3x−1, b=3x+1b = 3x + 1b=3x+1

a+b=(3x−1)+(3x+1)=6xab=(3x−1)(3x+1)=9x2−1a + b = (3x - 1) + (3x + 1) = 6x \\ ab = (3x - 1)(3x + 1) = 9x^2 - 1a+b=(3x−1)+(3x+1)=6xab=(3x−1)(3x+1)=9x2−1 (3x−1)3+(3x+1)3=a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=6x3−3(9x2−1)(6x)=6x3−18x(9x2−1)=6x3−162x3+18x=−156x3+18x=−6x(26x2−3)(3x - 1)^3 + (3x + 1)^3 = a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 6x^3 - 3(9x^2 - 1)(6x) = 6x^3 - 18x(9x^2 - 1) = 6x^3 - 162x^3 + 18x = -156x^3 + 18x = -6x(26x^2 - 3)(3x−1)3+(3x+1)3=a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=6x3−3(9x2−1)(6x)=6x3−18x(9x2−1)=6x3−162x3+18x=−156x3+18x=−6x(26x2−3)

Vậy:

−6x(26x2−3)=0⇒x=0hoặc26x2−3=0⇒x2=326⇒x=±326-6x(26x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 26x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{26} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{26}}−6x(26x2−3)=0⇒x=0hoặc26x2−3=0⇒x2=263​⇒x=±263​​

✅ Nghiệm: x=0x = 0x=0, x=±326x = \pm \sqrt{\frac{3}{26}}x=±263​​

✅ Tóm lại các nghiệm là:

a) x=−15x = \frac{-1}{5}x=5−1​

b) x=10x = 10x=10

c) x=12x = \frac{1}{2}x=21​ (bội ba)
d) x=0x = 0x=0, x=±326x = \pm \sqrt{\frac{3}{26}}x=±263​​