Để tìm giá trị của \( m \) sao cho các bất phương trình đồng biến và giảm biến trên các khoảng đã cho, ta cần khảo sát từng hàm số.

**1. Hàm số \[ y = \frac{x^2 + mx + m}{x - 1} \] đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\):**

Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = \frac{(2x + m)(x - 1) - (x^2 + mx + m)(1)}{(x - 1)^2}. \]

Rút gọn đạo hàm:
\[ y' = \frac{2x^2 - 2x + mx - m - x^2 - mx - m}{(x - 1)^2}, \]
\[ y' = \frac{x^2 - 2x - 2m}{(x - 1)^2}. \]

Để hàm số đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\), yêu cầu \( y' \geq 0 \):
\[ x^2 - 2x - 2m \geq 0 \text{ trên } (2; +\infty). \]

Xét bất phương trình bậc hai \( x^2 - 2x - 2m \geq 0 \). Vì hệ số của \( x^2 \) dương nên bất phương trình này sẽ dương với điều kiện:
- \( x = 2 \) là nghiệm lớn hơn nghiệm còn lại, tức là: \( 4 - 2m \leq 0 \).
- \( 2m \leq 4 \) hay \( m \leq 2 \).

**2. Hàm số \[ y = \frac{x}{x - m} \] giảm trên khoảng \((-∞; -1)\):**

Tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = \frac{(x - m) - x \cdot 1}{(x - m)^2} = \frac{-m}{(x - m)^2}. \]

Với đạo hàm \( y' = \frac{-m}{(x - m)^2}\), để hàm số giảm trên khoảng \((-∞; -1)\), ta cần có:
\[ \frac{-m}{(x - m)^2} \leq 0. \]

Do \((x - m)^2 > 0\) với mọi \(x \neq m\), bất phương trình được thỏa mãn khi:
\[ -m \leq 0 \text{ hay } m \geq 0. \]

**Kết hợp hai điều kiện**, ta có:
\[ 0 \leq m \leq 2. \]

Vậy giá trị của \( m \) cần tìm là \( 0 \leq m \leq 2 \).