Để tìm ma trận \( X \), ta cần giải phương trình ma trận:

\[
X \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & -2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}
\]

Gọi ma trận bên trái là \( A \). Để tìm \( X \), ta cần nhân với nghịch đảo của \( A \) từ phía phải:

\[ X = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix} \cdot A^{-1} \]

Trước hết, ta cần tìm \( A^{-1} \). Để tính nghịch đảo của một ma trận \( 3 \times 3 \), dùng công thức sau cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix} \]

Với \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \), tính định thức \( det(A) \):

\[ det(A) = 1(0 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1)) - (-1)(1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \]
\[ = 1(0 + 1) - (-1)(-2 - 1) + 1(1) \]
\[ = 1 - 3 + 1 = -1 \]

Vì \( det(A) = -1 \), ma trận \( A \) có nghịch đảo.

Tính \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-2) & 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 & (-1)(1) - (-1)(0) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 & (-1)(1) - 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Sau đó nhân ma trận này với ma trận phía bên phải:

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} (1)(1) + (3)(-3) + (5)(1) & (1)(-3) + (3)(0) + (5)(2) & (1)(1) + (3)(-1) + (5)(-1) \\ (2)(1) + (4)(-3) + (6)(1) & (2)(-3) + (4)(0) + (6)(2) & (2)(1) + (4)(-1) + (6)(-1) \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} 1 - 9 + 5 & -3 + 0 + 10 & 1 - 3 - 5 \\ 2 - 12 + 6 & -6 + 0 + 12 & 2 - 4 - 6 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} -3 & 7 & -7 \\ -4 & 6 & -8 \end{pmatrix} \]

Vậy ma trận \( X \) là:

\[ X = \begin{pmatrix} -3 & 7 & -7 \\ -4 & 6 & -8 \end{pmatrix} \]