Để rút gọn biểu thức \(\frac{a \sqrt{a} - 8 + 2a - 4 \sqrt{a}}{a - 4}\), trước tiên, hãy xử lý phần tử trong tử số:

Bằng cách nhóm các hạng tử giống nhau lại, ta có:
\[
a \sqrt{a} - 4 \sqrt{a} + 2a - 8
\]

Đơn giản hóa các hạng tử:
- Nhóm các hạng tử liên quan đến \(\sqrt{a}\):
\[
\sqrt{a}(a - 4)
\]

- Nhóm các hạng tử còn lại:
\[
2a - 8 = 2(a - 4)
\]

Như vậy, tử số có thể được viết lại dưới dạng:
\[
\sqrt{a}(a - 4) + 2(a - 4)
\]

Gộp hai biểu thức cùng thừa số chung \((a - 4)\):
\[
(\sqrt{a} + 2)(a - 4)
\]

Bây giờ biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành:
\[
\frac{(\sqrt{a} + 2)(a - 4)}{a - 4}
\]

Giả sử \(a \neq 4\), có thể rút gọn \((a - 4)\) ở tử số và mẫu số thì biểu thức còn lại là:
\[
\sqrt{a} + 2
\]

Tuy nhiên, với điều kiện trên, cuối cùng biểu thức đã được rút gọn thành \(\sqrt{a} + 2\).