Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales.

**Hình vẽ và bài toán:**
- Cho hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\).
- Điểm \(I\) nằm trên cạnh \(AD\).
- Từ \(I\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(K\).
- Đường thẳng \(AC\) cắt \(IK\) tại \(O\).

**Chứng minh:**

a) \[
\frac{AI}{AD} = \frac{AO}{AC}
\]

Nhìn vào tam giác \(ACD\), ta có \(IO \parallel CD\).

Áp dụng định lý Thales cho tam giác \(ACD\) với đường thẳng \(IO\):

\[
\frac{AI}{AD} = \frac{AO}{AC}
\]

b) \[
\frac{BK}{BC} = \frac{AO}{AC} \quad \text{suy ra} \quad AI \cdot BC = AD \cdot BK
\]

Trong tam giác \(ABC\), \(IK \parallel AB\). Áp dụng định lý Thales:

\[
\frac{BK}{BC} = \frac{AO}{AC}
\]

Kết hợp với phần (a), từ \(\frac{AI}{AD} = \frac{AO}{AC}\) và \(\frac{BK}{BC} = \frac{AO}{AC}\), suy ra:

\[
AI \cdot BC = AD \cdot BK
\]

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán dựa vào định lý Thales.