Để giải phương trình này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình ban đầu là:
\[ 3(x - 5) + \left(2x + 1\right) \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{3}. \]

Bước 1: Nhân phân phối.
\[ 3(x - 5) = 3x - 15. \]
\[ \left(2x + 1\right) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 2x + \frac{3}{2} \cdot 1 = 3x + \frac{3}{2}. \]

Bước 2: Gộp lại các thành phần.
\[ 3x - 15 + 3x + \frac{3}{2} = \frac{5}{3}. \]

Gộp các hệ số của \( x \):
\[ 6x - 15 + \frac{3}{2} = \frac{5}{3}. \]

Bước 3: Cộng các hằng số.
Chúng ta cần tính \(-15 + \frac{3}{2}\):

Đặt mẫu số chung là 2:
\[ -15 = -\frac{30}{2}. \]
Do đó:
\[ -\frac{30}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{27}{2}. \]

Vậy phương trình trở thành:
\[ 6x - \frac{27}{2} = \frac{5}{3}. \]

Bước 4: Cộng \(\frac{27}{2}\) vào hai vế:
\[ 6x = \frac{5}{3} + \frac{27}{2}. \]

Tính tổng \(\frac{5}{3} + \frac{27}{2}\) bằng cách quy đồng mẫu số:
Mẫu số chung là 6:
\[ \frac{5}{3} = \frac{10}{6}, \]
\[ \frac{27}{2} = \frac{81}{6}. \]

Vậy:
\[ \frac{10}{6} + \frac{81}{6} = \frac{91}{6}. \]

Do đó phương trình trở thành:
\[ 6x = \frac{91}{6}. \]

Bước 5: Giải tìm \( x \) bằng cách nhân hai vế với \(\frac{1}{6}\):
\[ x = \frac{91}{36}. \]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{91}{36}. \]