Chứng minh rằng

Để chứng minh \(A(n) = (n+1)(n+2)\ldots(2n)\) chia hết cho \(2^n\), ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

### Bước 1: Cơ sở quy nạp
Xét \(n=1\):
\[
A(1) = (1+1) = 2
\]
Rõ ràng \(2\) chia hết cho \(2^1 = 2\). Do đó, mệnh đề đúng với \(n=1\).

### Bước 2: Giả thiết quy nạp
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là:
\[
A(k) = (k+1)(k+2)\ldots(2k)
\]
chia hết cho \(2^k\).

### Bước 3: Bước quy nạp
Phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k+1\):
\[
A(k+1) = (k+2)(k+3)\ldots(2k+2)
\]
Ta có:
\[
A(k+1) = A(k) \cdot (2k+1)(2k+2)
\]
Do \(A(k)\) chia hết cho \(2^k\) theo giả thiết quy nạp, ta chỉ cần chứng minh rằng \((2k+1)(2k+2)\) chia hết cho \(2\).

Rõ ràng, \(2k+2\) là số chẵn nên ít nhất chia hết cho \(2\). Do đó, \((2k+1)(2k+2)\) chia hết cho \(2\).

Vậy, khi nhân với \(A(k)\) đã chia hết cho \(2^k\), \(A(k+1)\) chia hết cho \(2^{k+1}\).

### Kết luận
Bằng quy nạp, mệnh đề đã được chứng minh cho mọi số nguyên dương \(n\).