Để rút gọn biểu thức:

\[
\frac{1}{4}(2x^2+y)(x-2y) + \frac{1}{4}(2x^2-y)(x+2y)
\]

Ta thực hiện các bước sau:

1. Phân phối từng số hạng trong dấu ngoặc ra.

\[
\frac{1}{4} \left( (2x^2)(x-2y) + y(x-2y) \right) + \frac{1}{4} \left( (2x^2)(x+2y) - y(x+2y) \right)
\]

2. Tính từng số hạng trong dấu ngoặc:

- \((2x^2)(x-2y) = 2x^3 - 4x^2y\)

- \(y(x-2y) = xy - 2y^2\)

- \((2x^2)(x+2y) = 2x^3 + 4x^2y\)

- \(-y(x+2y) = -xy - 2y^2\)

3. Ghép các số hạng lại thành biểu thức:

\[
\frac{1}{4} \left( 2x^3 - 4x^2y + xy - 2y^2 \right) + \frac{1}{4} \left( 2x^3 + 4x^2y - xy - 2y^2 \right)
\]

4. Gộp các số hạng tương tự:

- \(2x^3 + 2x^3 = 4x^3\)

- \(-4x^2y + 4x^2y = 0\)

- \(xy - xy = 0\)

- \(-2y^2 - 2y^2 = -4y^2\)

5. Vậy biểu thức rút gọn là:

\[
\frac{1}{4} (4x^3 - 4y^2) = x^3 - y^2
\]

Kết quả cuối cùng là \(x^3 - y^2\).