Chứng minh

Đề bài yêu cầu chứng minh hai phần:

a) Với mọi số tự nhiên \( n \), \( 3 \times 5^{2n} + 15 \times 8^n \) chia hết cho 17.

b) Với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức sau chia hết cho 23:

\[ 5^n \times 14^n + 9^n \]

Để chứng minh:

### Phần a:

Cần kiểm tra \( 3 \times 5^{2n} + 15 \times 8^n \equiv 0 \pmod{17} \).

- **Bước 1:** Tìm số dư của \( 5^2 \) và \( 8 \) theo modulo 17.
- **Bước 2:** Sử dụng tính chất của lũy thừa và các tính chất của đồng dư để chứng minh rằng tổng này đồng dư với 0.

### Phần b:

Cần kiểm tra \( 5^n \times 14^n + 9^n \equiv 0 \pmod{23} \).

- **Bước 1:** Tìm số dư của các thành phần cơ bản \( 5 \), \( 14 \), và \( 9 \) modulo 23.
- **Bước 2:** Áp dụng định lý Fermat nhỏ hoặc các tính chất của đồng dư để chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 23.

Các bước này có thể phức tạp và yêu cầu việc xây dựng các quan hệ đồng dư hoặc sử dụng quy nạp toán học để chứng minh cho mọi \( n \).