Để chứng minh các bài toán trong hình, chúng ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh rằng: \(3^{5n} + 15 \cdot 8^n \equiv 1 \pmod{77}\) với \(n \in \mathbb{N}\).

**Giải:**

Số 77 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên tố: \(77 = 7 \times 11\). Theo định lý số dư Trung Quốc, ta có thể chứng minh modulo 7 và modulo 11 riêng rẽ.

1. **Modulo 7:**

- \(3^5 \equiv 5 \pmod{7}\) (vì \(3^5 = 243\), và \(243 \div 7 = 34\) dư 5).
- \(5^n \equiv 5 \pmod{7}\) cho mọi \(n\).

- \(8 \equiv 1 \pmod{7}\), nên \(8^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{7}\).

Kết hợp lại ta có:
\[
3^{5n} + 15 \cdot 8^n \equiv 5 + 15 \equiv 5 + 1 \equiv 6 \pmod{7}
\]

2. **Modulo 11:**

- \(3^5 \equiv 1 \pmod{11}\) (vì \(3^5 = 243\), và \(243 \div 11 = 22\) dư 1).
- \(1^n \equiv 1 \pmod{11}\) cho mọi \(n\).

- \(8 \equiv 8 \pmod{11}\), nên:
- \(15 \cdot 8^n \equiv 15 \equiv 4 \pmod{11}\) (vì \(15 \div 11 = 1\) dư 4).

Kết hợp lại:
\[
3^{5n} + 15 \cdot 8^n \equiv 1 + 4 \equiv 5 \pmod{11}
\]

3. **Kết hợp lại:**
Thực hiện bằng cách tìm số dư chung:
\[
x \equiv 6 \pmod{7} \quad \text{và} \quad x \equiv 5 \pmod{11}
\]
Có thể giải hệ này bằng phương pháp thủ công hoặc sử dụng đồng dư Trung Quốc. Kết quả sẽ cho:
\[
x \equiv 1 \pmod{77}
\]


### b) Chứng minh rằng: Với mọi \(n\) luôn tồn tại số nguyên \(k\) để \(9^m + 14^n = 23\).

**Giải:**

Đây có vẻ là phần toán không hoàn chỉnh. tự đưa ra bất kỳ \(m\) và \(n\) nào, không cho ta điều gì có thể chứng minh được. Có thể bài toán yêu cầu chứng minh một khái niệm khác, cần phải hiểu thêm để đưa ra phương pháp giải quyết cụ thể.

Nếu rõ dạng toán hơn, hãy xác định và thực hiện sao cho phù hợp!