Để rút gọn biểu thức, mình sẽ phân tích bài toán theo từng phần:

Biểu thức này là:

\[
\left( \frac{\sqrt{2}}{x+\frac{1}{3}} + 1 \right) : \left( \frac{2\sqrt{2}}{1+x - \sqrt{2x}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}} \right)
\]

Để đơn giản hóa, làm các bước sau:

1. Rút gọn phân số đầu tiên:
- \(\frac{\sqrt{2}}{x+\frac{1}{3}} + 1\)

2. Rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn thứ hai:
- Chuyển đổi mỗi phân số về cùng mẫu số, nếu cần thiết.

3. Thực hiện chia:
- Chia hai biểu thức bằng cách nhân phân số đầu tiên với nghịch đảo của phân số thứ hai.

Rút gọn từng phần với cách tính cụ thể sẽ giúp biểu thức trở nên đơn giản hơn. Nếu có điều kiện cụ thể hơn về giá trị \(x\), hãy sử dụng chúng để tiếp tục rút gọn.