Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

### a) Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) và rút gọn A:

1. **Tìm ĐKXĐ:**

- Phân thức đầu: \(\frac{2}{x-2}\) xác định khi \(x \neq 2\).
- Phân thức thứ hai: \(\frac{2x}{x^2-4}\) xác định khi \(x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\), \(x \neq -2\).
- Phân thức thứ ba: \(\frac{1}{x+2}\) xác định khi \(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\).

Kết hợp lại ta có ĐKXĐ của A là \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\).

2. **Rút gọn A:**

Bắt đầu với biểu thức:

\[
A = \frac{2}{x-2} + \frac{2x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2}
\]

Nhận thấy \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Chúng ta quy đồng mẫu chung là \( (x-2)(x+2)\).

\[
A = \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{1(x-2)}{(x-2)(x+2)}
\]

Cộng các tử số:

\[
A = \frac{2(x+2) + 2x + (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x + 4 + 2x + x - 2}{(x-2)(x+2)}
\]

\[
A = \frac{5x + 2}{(x-2)(x+2)}
\]

### b) Tìm \( x \) để \( A = 2 \):

Với \( A = 2 \):

\[
\frac{5x + 2}{(x-2)(x+2)} = 2
\]

Giải phương trình:

\[
5x + 2 = 2(x^2 - 4)
\]

\[
5x + 2 = 2x^2 - 8
\]

\[
2x^2 - 5x - 10 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-10) = 25 + 80 = 105
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{4}
\]

### c) Tìm \( x \) để \( A < 0 \):

Từ biểu thức rút gọn:

\[
\frac{5x + 2}{(x-2)(x+2)} < 0
\]

Xác định dấu của tử số và mẫu số:

- \(5x + 2 < 0 \Rightarrow x < -\frac{2}{5}\)
- \((x-2)(x+2) < 0\)

Xét bảng biến thiên dấu:

\((x-2)(x+2) < 0\) khi \(-2 < x < 2\).

Kết hợp với điều kiện tử số: \(x < -\frac{2}{5}\)

Nên: \(x \in (-2, -\frac{2}{5})\).

Câu trả lời đầy đủ nhằm xác minh cho từng điều kiện và kết hợp để tìm nghiệm chính xác được yêu cầu.