Để tìm \(x\) và \(y\) trong các phương trình đã cho, chúng ta sẽ sắp xếp và giải từng phương trình riêng lẻ.

**a.** Phương trình:

\[ x^2 + y^2 + 4y + 13 = 6x \]

Chuyển các hạng tử về một vế để dễ dàng hoàn tất bình phương:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0 \]

Hoàn tất bình phương cho \(x\) và \(y\):

- \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\)
- \(y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4\)

Thay vào phương trình:

\[ (x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 + 13 = 0 \]

Phương trình trở thành:

\[ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 0 \]

Vì tổng của hai bình phương bằng 0, nên:

\[ x-3 = 0 \quad \text{và} \quad y+2 = 0 \]

Do đó:

\[ x = 3 \quad \text{và} \quad y = -2 \]

**b.** Phương trình:

\[ x^2 + y^2 + 17 = 2x - 8y \]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 8y + 17 = 0 \]

Hoàn tất bình phương:

- \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\)
- \(y^2 + 8y = (y+4)^2 - 16\)

Thay vào phương trình:

\[ (x-1)^2 - 1 + (y+4)^2 - 16 + 17 = 0 \]

Phương trình trở thành:

\[ (x-1)^2 + (y+4)^2 = 0 \]

Do đó:

\[ x-1 = 0 \quad \text{và} \quad y+4 = 0 \]

Do đó:

\[ x = 1 \quad \text{và} \quad y = -4 \]

**c.** Phương trình:

\[ x^2 + y^2 + 45 = 12y - 6x \]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[ x^2 - 6x + y^2 - 12y + 45 = 0 \]

Hoàn tất bình phương:

- \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\)
- \(y^2 - 12y = (y-6)^2 - 36\)

Thay vào phương trình:

\[ (x-3)^2 - 9 + (y-6)^2 - 36 + 45 = 0 \]

Phương trình trở thành:

\[ (x-3)^2 + (y-6)^2 = 0 \]

Do đó:

\[ x-3 = 0 \quad \text{và} \quad y-6 = 0 \]

Do đó:

\[ x = 3 \quad \text{và} \quad y = 6 \]

**d.** Phương trình:

\[ 4x^2 + 9y^2 + 2 = 4x + 6y \]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[ 4x^2 - 4x + 9y^2 - 6y + 2 = 0 \]

Hoàn tất bình phương:

- \(4x^2 - 4x = 4(x-\frac{1}{2})^2 - 1\)
- \(9y^2 - 6y = 9(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}\)

Thay vào phương trình:

\[ 4(x-\frac{1}{2})^2 - 1 + 9(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 2 = 0 \]

Phương trình trở thành:

\[ 4(x-\frac{1}{2})^2 + 9(y-\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{3} \]

Phương trình này đại diện cho một elip, không có nghiệm đơn độc như các phương trình trước. Việc tìm nghiệm cụ thể của hệ phương trình này cần thêm thông tin hoặc điều kiện khác.

Vì vậy, nghiệm cho ba phương trình đầu tiên là:

- a. \( x = 3, y = -2 \)
- b. \( x = 1, y = -4 \)
- c. \( x = 3, y = 6 \)

Phương trình thứ tư là phương trình của một elip, có vô số nghiệm.