Để chứng minh các vấn đề đã cho, ta tiến hành từng bước một dựa trên các tính chất của tam giác và đoạn thẳng trung điểm.

Cho tam giác \( \triangle ABC \) với:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- \( N' \) là trung điểm của \( ME \).

a) Chứng minh \( CE = BM \):

Do \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta có:
\[ BM = \frac{1}{2} AB \]

Do \( N \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[ CE = \frac{1}{2} AC \]

Do tứ giác \( MNCE \) có \( M \) đối xứng với \( N \) qua \( CE \), theo tính chất đồng dư MP, CQ là đoạn thẳng trung bình trong tam giác:
\[ BM = CE \]

b) Chứng minh \( CE \parallel AB \):

Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của hai cạnh \( AB \) và \( AC \) tương ứng, theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có:
\[ CE \parallel AB \]

c) Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} BC \):

Do \( M \), \( N \) là trung điểm của \( AB \), \( AC \), theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
\[ MN \parallel BC \]
\[ MN = \frac{1}{2} BC \]

Kết luận:
- \( CE = BM \)
- \( CE \parallel AB \)
- \( MN = \frac{1}{2} BC \)