Cho hình bình hành ABCD

Dựa theo mô hình trong ảnh Bài 10.

- Cho hình bình hành ABCD (AB ∥ CD và AD ∥ BC). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại E và cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AB tại K. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD (tâm đối xứng của hình bình hành).

- E và F là chân từ A và C xuống BD (E ∈ BD, F ∈ BD). I là giao của đường qua A vuông với BD với CD, và K là giao của đường qua C vuông với BD với AB.

a) AKCI là hình gì? Vì sao?

- AK là đoạn nằm trên AB; CI là đoạn nằm trên CD. Vì AB ∥ CD, nên AK ∥ CI.
- AI và KC lần lượt là các đường vuông góc với BD, nên AI ∥ KC.
- Vậy hai cặp cạnh đối của tứ giác AKCI đều song song: AK ∥ CI và AI ∥ KC. Do đó AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh AF // CE.

- Gọi O là tâm đối xứng (giao điểm của hai đường chéo AC và BD). Toàn bộ phép quay 180° quanh O sẽ gửi mỗi đỉnh A ↦ C, B ↦ D và đồng thời gửi đường vuông góc với BD đi qua A (điểm E là giao với BD) sang đường vuông góc với BD đi qua C (điểm F là giao với BD). Nói cách khác, phép quay 180° quanh O sẽ biến E thành F và A thành C.
- Vì thế đường thẳng AF được ảnh dưới phép quay thành đường CE. Khi một đường thẳng được biến thành đường thẳng khác dưới một đồng diện quay 180°, hai đường thẳng đó đồng song song với nhau. Do đó AF ∥ CE.

c) Chứng minh AC, EF, KI đồng quy.

- EF là phần nằm trên BD (vì E và F đều nằm trên BD). Vậy AC và BD (tức EF) cắt nhau tại O.
- Theo cùng phép quay 180° quanh O: A ↔ C và K ↔ I. Đường KI là ảnh của chính nó dưới phép quay (tọa độ K và I đối xứng qua O). Nên KI đi qua O.
- Do đó ba đường thẳng AC, EF (tức BD) và KI đồng quy tại điểm O (tâm của hình bình hành).

Kết luận:
- a) AKCI là hình bình hành.
- b) AF ∥ CE.
- c) AC, EF và KI đồng quy tại giao điểm của hai đường chéo O (tâm đối xứng của hình bình hành).