Đây là một bài tập toán có liên quan đến dãy số. Dưới đây là các câu hỏi cụ thể cùng với hướng dẫn để giải quyết:

### Câu 1:
Chứng minh rằng dãy số \( (u_n) \), với \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \) là một dãy số bị chặn.

**Hướng dẫn:**
- Tính giới hạn của dãy số khi \( n \to \infty \).
- Xác định các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dãy.

### Câu 2:
Chứng minh dãy số \( (u_n) \), với \( u_n = \frac{7n + 5}{5n + 7} \) là một dãy số tăng và bị chặn.

**Hướng dẫn:**
- Tính \( u_{n+1} - u_n \) và kiểm tra tính dương.
- Tính giới hạn của dãy số khi \( n \to \infty \).

### Câu 3:
Cho dãy số \( (u_n) \) có \( u_n = \frac{an + b}{n + 1} \). Biết số hạng thứ 2 và số hạng thứ 4 lần lượt bằng \( 2 \).

**Hướng dẫn:**
- Thiết lập hệ phương trình từ điều kiện đề bài.
- Giải hệ để tìm ra các giá trị của \( a \) và \( b \).

### Câu 4:
Cho dãy số \( (u_n) \) xác định bởi
\[
\begin{cases}
u_1 = 1 \\
u_{n+1} = u_n + n^3, \forall n \in \mathbb{N}^+
\end{cases}
\]
Tìm số nguyên dương cho \( \sqrt{u_n - 1} \geq 2039190 \).

**Hướng dẫn:**
- Tính công thức tổng quát cho \( u_n \).
- Giải bất phương trình đặt ra để tìm giá trị \( n \).

### Câu 5:
Cho dãy số \( (u_n) \) với \( u_n = n^2 - 4n + 3 \).

**a)** Viết công thức truy hồi của dãy số.
**b)** Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
**c)** Tính tổng số hạng đầu của dãy số đã cho.

**Hướng dẫn:**
- **a)** Tìm \( u_{n+1} \) bằng cách thay \( n \) bằng \( n+1 \).
- **b)** Tìm \( u_n \) và xác định giá trị nhỏ nhất để chứng minh độ chặn.
- **c)** Tính tổng các số hạng từ \( u_1 \) đến \( u_n \) và đưa ra kết quả.

Bạn có thể tiến hành từng câu hỏi theo hướng dẫn trên để tìm ra kết quả chính xác.