Cho hình bình hành

Gọi AB = u và AD = v. Do đó:

- A là gốc, B = A + u, D = A + v, C = B + v = A + u + v.
- M là trung điểm của AB: M = A + u/2.
- N là trung điểm của CD: N = (C + D)/2 = A + u/2 + v.

a) MN ⟂ AC
- MN = N − M = (A + u/2 + v) − (A + u/2) = v = AD.
- AC = A → C = A + u + v.
- Theo giả thuyết AD ⟂ AC, nên MN ⟂ AC. Vậy MN ⟂ AC được chứng minh.

b) Tứ giác AMCN là hình gì?
- AM = M − A = u/2; CN = N − C = (A + u/2 + v) − (A + u + v) = −u/2 => AM ∥ CN và AM = CN.
- MC = C − M = (A + u + v) − (A + u/2) = u/2 + v; AN = A − N = −(u/2 + v) => MC ∥ AN và MC = AN.
- Vậy AMCN là tứ giác lồng vào (parallelogram): hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Tóm lại:
a) MN ⟂ AC.
b) AMCN là một hình bình hành (parallelogram). Ngoài ra, hai đường chéo AC và MN của AMCN vuông góc với nhau theo phần (a).