Ta có tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao xuống BC. Gọi H ∈ BC là chân cao, M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MH (tức tia bắt đầu từ M, đi ngược hướng MH) xuất D sao cho DM = MH. Khi đó M là trung điểm của HD, tức M là phép đối xứng của H qua D? (Đúng: D là phản chiếu H qua M trên đường thẳng HM.)

Một số xác định trước:
- HB và HC đều nằm trên BC, nên HB ∥ HC ∥ AD ∥ EH (nếu ta xét sau).
- AH ⟂ BC, vì AH là đường cao từ A đến BC; do đó AH ⟂ HB và AH ⟂ EH.

A. Chứng minh AHBD là hình chữ nhật

- Ta có D = 2M − H. Với A(0,0), B(b,0), C(0,c) (chọn hệ tọa độ sao cho AB ∥ x-axis, AC ∥ y-axis), ta có:
- M = (b/2, 0)
- H = vec(H) sao cho AH ⟂ BC; sau tính toán ta có H = (hx, hy) với hx = b c^2/(b^2 + c^2), hy = b^2 c/(b^2 + c^2).
- D = 2M − H = (b − hx, −hy).

- Xác định vector:
- AD = D − A = (b − hx, −hy) và HB = B − H = (b − hx, −hy). Do đó AD = HB, tức AD ∥ HB.
- BD = D − B = (−hx, −hy) và AH = H − A = (hx, hy). Do đó BD = −AH, tức BD ∥ AH.

- Về số đo góc tại H: AH ⟂ HB vì AH ⟂ BC và HB ∥ BC. Vậy AHBD là một hình bình hành có một góc vuông, nên là hình chữ nhật.

Tóm lại: AHBD là hình chữ nhật.

B. Với E trên HC sao cho HB = HE. Tứ giác AEHD là hình gì? Vì sao?

- Đầu tiên nhận xét: E nằm trên HC và HE = HB. Vì B, H, C thẳng hàng nên HB ∥ EH (cùng đường BC). Cộng với kết quả ở phần A, AD ∥ HB, nên AD ∥ EH. Vì thế AEHD có một cặp cạnh đối song song, tức là hình thang (trapezoid) với AD và EH là đáy.

- Ta sẽ cho thấy AE = DH, vậy AEHD là hình thang cân (hình thang có hai cạnh bên bằng nhau).

Cách làm bằng hệ tọa độ (được chọn ở phần A):
- Như trên, H = (hx, hy) với hx = b c^2/(b^2 + c^2), hy = b^2 c/(b^2 + c^2); D = (b − hx, −hy).
- Gọi E nằm trên HC sao cho HE = HB. Trên BC, ta có:
- BC dài bằng sqrt(b^2 + c^2).
- HB = (AB^2)/BC = b^2/BC, HC = (AC^2)/BC = c^2/BC. Do đó HB/HC = b^2/c^2.
- Vậy E = H + (HB/HC)(C − H) = H + (b^2/c^2)(C − H).

Sau khi tính toán (mọi phép chiếu thu được, rút gọn bằng S = b^2 + c^2), ta được:
- E có tọa độ x_E = b (c^2 − b^2)/S, y_E = 2 b^2 c / S.
- AE^2 = x_E^2 + y_E^2 = b^2, nên AE = b = AB.
- DH^2 = (b − 2hx)^2 + (2hy)^2 = b^2, nên DH = b = AB.

Vậy AE = DH. Đồng thời AD ∥ EH như đã nói ở trên. Do đó AEHD là một hình thang cân (isosceles trapezoid): AD ∥ EH và AE = DH.

Kết luận:
- a) AHBD là hình chữ nhật.
- b) AEHD là hình thang cân (isoceles trapezoid). Vì AD ∥ EH (AD ∥ HB và EH ∥ HB) và AE = DH (điều tra bằng phép tính/dò tìm tọa độ ở trên). Ngoài ra điều kiện HB = HE đảm bảo E nằm trên HC và giúp ta có AE = DH. Lưu ý: để E nằm trên HC (không phải trên extended HC) ta cần HB ≤ HC, tức AB ≤ AC theo cách ký hiệu đang dùng.